Polymarket套利聖經：真正的差距在數學基礎設施

原文標題：在 Polymarket 交易所進行交易所需的數學知識（完整路線圖）

原文作者：Roan，加密分析師

翻譯、註釋：MrRyanChi，insiders.bot

在創立 @insidersdotbot 的過程中，我與許多高頻做市團隊和套利團隊深入交流，其中，最大的一倥，就是如何進行套利策略。

我們的用戶、朋友、合作夥伴，都在探索 Polymarket 套利這條複雜且多維度的交易路線。如果你是一個 Twitter 的活躍用戶，那我相信你也曾經看到過「我通過 XX 套利策略，從預測市場上賺了多少錢」這樣的推文。

然而，大部分文章都過度簡化了套利的底層邏輯，讓套利變成了「我來我也行」，「用 Clawdbot 就能解決」的交易模式，而並沒有深入解釋如何系統性地理解並開發屬於自己的套利系統。

如果你想理解 Polymarket 上的套利工具是如何賺錢的，這篇文章，是我目前看到的最完整的解讀。

由於英文原文有許多過於技術性，需要進行進一步研究的部分，我幫大家進行了重構和補充，方便大家只需要這篇文章，不需要停下來查資料，就可以理解全部重點內容。

Polymarket 套利並不是簡單的數學問題

你在 Polymarket 上看到一個市場：

YES 價格 $0.62，NO 價格 $0.33。

你心想：0.62 + 0.33 = 0.95，不到 1 塊錢，有套利空間！同時買 YES 和 NO，花 $0.95，無論結果如何都能拿回 $1.00，淨賺 $0.05。

你是對的。

但問題是——當你還在手動算這道加法題的時候，量化系統已經在做一件完全不同的事。

它們在同時掃描 17,218 個條件，跨越 2^63 種可能的結果組合，在毫秒級別內找到所有定價矛盾。等你下完兩筆訂單，價差已經消失了。系統早就在幾十個相關市場裡找到了同樣的漏洞，算好了考慮訂單簿深度和手續費之後的最優倉位大小，並行執行了所有交易，然後將資金轉向了下一個機會。[1]

差距不只是速度。是數學基礎設施。

第一章：為什麼「加法」不夠用——邊際多邊形問題

單一市場謬誤

先看一個簡單的例子。

市場 A：「特朗普會贏下賓夕法尼亞州的選舉嗎？」

YES 價格 $0.48，NO 價格 $0.52。加起來正好 $1.00。

看起來完美，沒有套利空間，對吧？

錯。

加一個市場，問題就來了

再看市場 B：「共和黨會在賓夕法尼亞州超越對手 5 個百分點以上嗎？」

YES 價格 $0.32，NO 價格 $0.68。加起來也是 $1.00。

兩個市場各自都「正常」。但這裡有一個邏輯依賴關係：

美國總統大選不是全國一起算票，而是按州計票。每個州是一個獨立的「戰場」，誰在這個州拿到更多選票，誰就贏走這個州所有的選舉人票（贏者通吃）。特朗普是共和黨候選人。所以「共和黨在賓夕法尼亞贏」和「特朗普在賓夕法尼亞贏」——是同一件事。如果共和黨贏了對手 5 個百分點以上，那不僅意味著特朗普贏了賓夕法尼亞，而且贏得很大。

換句話說，市場 B 的 YES（共和黨大勝）是市場 A 的 YES（特朗普獲勝）的一個子集——大勝一定意味著獲勝，但獲勝不一定意味著大勝。

而這種邏輯依賴，就創造了套利機會。

這就像是你在賭兩件事——「明天會下雨嗎」和「明天會有雷暴嗎」。

如果有雷暴，那一定在下雨（雷暴是下雨的子集）。所以「雷暴 YES」的價格不可能比「下雨 YES」的價格高。如果市場定價違反了這個邏輯，你就可以同時買低賣高，賺到「無風險利潤」，這就是套利。

指數爆炸：為什麼暴力搜索行不通

對於任何有 n 個條件的市場，理論上有 2^n 種可能的價格組合。

聽起來還好？來看一個真實案例。

2010 年 NCAA 籃球錦標賽市場 [2]：63 場比賽，每場有贏/輸兩種結果。可能的結果組合數是 2^63 = 9,223,372,036,854,775,808——超過 9 百億億種。市場上有 5000 多個盤口。

2^63 這個數字有多大？如果你每秒檢查 10 億種組合，需要大約 292 年 才能全部檢查完。這就是為什麼「暴力搜索」在這裡完全行不通。

逐一檢查每種組合？計算上不可能。

再看 2024 年美國大選。研究團隊發現了 1,576 對可能存在依賴關係的市場對。如果每對市場各有 10 個條件，那每對需要檢查 2^20 = 1,048,576 種組合。乘以 1,576 對。你的筆記本電腦算完的時候，選舉結果早就出來了。

整數規劃：用約束代替枚舉

量化系統的解決方案不是「更快地枚舉」，而是根本不枚舉。

它們用整數規劃（Integer Programming）來描述「哪些結果是合法的」。

來看一個真實例子。Duke 對 Cornell 的比賽市場：每支球隊有 7 個盤口（0 到 6 場勝利），總共 14 個條件，2^14 = 16,384 種可能組合。

但有一個約束：它們不可能都贏 5 場以上，因為那樣它們會在半決賽相遇（只有一個能晉級）。

整數規劃怎麼處理？三條約束就夠了：

· 約束一： Duke 的 7 個盤口裡，恰好有一個為真（Duke 只能有一個最終勝場數）。

· 約束二： Cornell 的 7 個盤口裡，恰好有一個為真。

· 約束三： Duke 贏 5 場 + Duke 贏 6 場 + Cornell 贏 5 場 + Cornell 贏 6 場 ≤ 1（它們不能同時贏那麼多）。

三條線性約束，替代了 16,384 次暴力檢查。

暴力搜索 vs 整數規劃

換言之，暴力搜索就像是把字典裡的每個單詞都讀一遍來找一個詞。整數規劃就像是直接翻到那個字母開頭的頁面。你不需要檢查所有可能性，你只需要描述「合法答案長什麼樣」，然後讓演算法去找違反規則的定價。

真實數據：41% 的市場存在套利 [2]

原文中提到，研究團隊分析了 2024 年 4 月到 2025 年 4 月的數據：

• 檢查了 17,218 個條件

• 其中 7,051 個條件存在單一市場套利（佔 41%）

• 中位數定價偏差：$0.60（應該是 $1.00）

• 13 對確認的跨市場可利用套利

中位數偏差 $0.60 意味著市場經常性地偏離 40%。這不是「接近有效」，這是「大規模可利用」。

第二章：Bregman 投影——怎麼算出最優套利交易

發現套利是一個問題。算出最優的套利交易是另一個問題。

你不能簡單地「取個平均」或者「微調一下價格」。你需要把當前的市場狀態投影到無套利的合法空間上，同時保留價格裡的信息結構。

為什麼「直線距離」不行

最直覺的想法是：找到離當前價格最近的「合法價格」，然後交易差價。

用數學語言說，就是最小化歐幾里得距離：||μ - θ||²

但這有一個致命問題：它把所有價格變動當成一樣的。

從 $0.50 漲到 $0.60，和從 $0.05 漲到 $0.15，都是漲了 10 美分。但它們的信息含量完全不同。

為什麼？因為價格代表的是隱含概率。從 50% 變到 60%，是一個溫和的觀點調整。從 5% 變到 15%，是一個巨大的信念翻轉——一個幾乎不可能的事件突然變成了「有點可能」。

想象你在稱體重。從 70 公斤變到 80 公斤，你會說「胖了一點」。但從 30 公斤變到 40 公斤（如果你是成年人），那就是「從瀕死變成了嚴重營養不良」。同樣是 10 公斤的變化，意義完全不同。價格也是一樣——越接近 0 或 1 的價格變動，信息量越大。

Bregman 散度：正確的「距離」

Polymarket 的做市商使用的是 LMSR（對數市場評分規則）[4]，價格本質上代表概率分佈。

在這種結構下，正確的距離度量不是歐幾里得距離，而是 Bregman 散度。[5]

對於 LMSR，Bregman 散度就變成了 KL 散度（Kullback-Leibler 散度)[6]——一個衡量兩個概率分佈之間「資訊論距離」的指標。

你不需要記住公式。你只需要理解一件事：

KL 散度會自動給「極端價格附近的變動」更高的權重。從 $0.05 到 $0.15 的變動，在 KL 散度下比從 $0.50 到 $0.60 的變動「更遠」。這正好符合我們的直覺——極端價格的變動意味着更大的信息衝擊。

一個比較好的例子，就是上次 @zachxbt 的預測市場中，Axiom 在最後關頭反超 Meteora，也是以極端價格變動，作為一切變化的。

Frank-Wolfe 的核心思想

Frank-Wolfe 算法 [7] 的天才之處在於：它不試圖一次性搞定整個問題，而是一步一步逼近答案。

它的工作方式是這樣的：

第一步： 從一個小的已知合法結果集合開始。

第二步： 在這個小集合上做最佳化，找到當前最優解。

第三步： 用整數規劃找到一個新的合法結果，加入集合。

第四步： 檢查是否足夠接近最優解。如果不夠，回到第二步。

每一輪迭代，集合只增加一個頂點。即使跑了 100 輪，你也只需要追踪 100 個頂點——而不是 2^63 個。

Frank-Wolfe 迭代過程

想象你在一個巨大的迷宮裡找出口。

暴力方法是把每條路都走一遍。Frank-Wolfe 的方法是：先隨便走一條路，然後在每個岔路口問一個「向導」（整數規劃求解器）：「從這裡開始，哪個方向最可能通向出口？」然後朝那個方向走一步。你不需要探索整個迷宮，只需要在每個關鍵節點做出正確的選擇。

整數規劃求解器：每一步的「向導」

Frank-Wolfe 的每一輪迭代都需要解一個整數線性規劃問題。這在理論上是 NP 困難的（也就是「沒有已知的快速通用算法」）。

但現代求解器，比如 Gurobi[8]，對於結構良好的問題可以高效求解。

研究團隊用的是 Gurobi 5.5。實際求解時間：

• 早期迭代（少量比賽已結束）：不到 1 秒

• 中期（30-40 場比賽已結束）：10-30 秒

• 後期（50+ 場比賽已結束）：不到 5 秒

為什麼後期反而更快？因為隨著比賽結果確定，可行解空間在縮小。變數更少，約束更緊，求解更快。

梯度爆炸問題和 Barrier Frank-Wolfe

標準的 Frank-Wolfe 有一個技術問題：當價格接近 0 的時候，LMSR 的梯度會趨向負無窮。這會導致演算法不穩定。

解決方案是 Barrier Frank-Wolfe：不在完整的多面體 M 上最佳化，而是在一個稍微「收縮」的版本 M 上最佳化。收縮參數 ε 會隨著迭代自適應地減小——開始時離邊界遠一點（穩定），後來逐漸逼近真實邊界（精確）。

研究表明，實際操作中 50 到 150 輪迭代就足夠收斂。

真實表現

論文裡有一個關鍵發現 [2]：

在 NCAA 锦标赛的前 16 場比賽中，Frank-Wolfe 做市商（FWMM）和簡單的線性約束做市商（LCMM）表現差不多——因為整數規劃求解器還太慢。

但在 45 場比賽結束後，第一次成功的 30 分鐘投影完成了。

從那以後，FWMM 在盤口定價上比 LCMM 好了 38%。

轉折點就是：當結果空間縮小到整數規劃能在交易時間窗口內完成求解的時候。

FWMM 就像一個學生，考試前半段還在熱身，但一旦進入狀態，就開始碾壓。LCMM 是那個一直穩定發揮但天花板有限的學生。關鍵區別是：FWMM 有更強的「武器」（Bregman 投影），只是需要時間來「裝彈」（等求解器跑完）。

第四章：執行——為什麼算出來了還可能虧錢

你檢測到了套利。你用 Bregman 投影算出了最優交易。

現在你需要執行。

這是大多數策略失敗的地方。

非原子執行問題

Polymarket 使用的是 CLOB（中央限價訂單簿）[9]。跟去中心化交易所不同，CLOB 上的交易是順序執行的——你不能保證所有訂單同時成交。

你的套利計劃：

買 YES，價格 $0.30。買 NO，價格 $0.30。總成本 $0.60。無論結果如何，回收 $1.00。利潤 $0.40。

現實：

· 提交 YES 訂單 → 成交價 $0.30 ✓

· 你的訂單改變了市場價格。

· 提交 NO 訂單 → 成交價 $0.78 ✗

· 總成本：$1.08。回收：$1.00。實際結果：虧 $0.08。

一條腿成交了，另一條沒有。你暴露了。

這就是為什麼論文只統計利潤空間超過 $0.05 的機會。更小的價差會被執行風險吃掉。

非原子執行風險

VWAP：真實的成交價格

不要假設你能以報價成交。要計算成交量加權平均價格（VWAP）[10]。

研究團隊的方法是：對 Polygon 鏈上的每個區塊（大約 2 秒），計算該區塊內所有 YES 交易的 VWAP 和所有 NO 交易的 VWAP。如果 |VWAP_yes + VWAP_no - 1.0| > 0.02，就記錄為一次套利機會 [2]。

VWAP 就是「你實際付的平均價格」。如果你想買 10,000 個代幣，但訂單簿上 $0.30 只有 2,000 個，$0.32 有 3,000 個，$0.35 有 5,000 個——你的 VWAP 就是 (2000×0.30 + 3000×0.32 + 5000×0.35) / 10000 = $0.326。比你看到的「最優價格」$0.30 貴了不少。

流動性約束：能賺多少取決於訂單簿深度

即使價格確實有偏差，你能賺到的利潤也受限於可用流動性。

真實例子 [2]：

市場顯示套利：YES 價格之和 = $0.85。潛在利潤：每美元 $0.15。但這些價格上的訂單簿深度只有 $234。最大可提取利潤：$234 × 0.15 = $35.10。

對於跨市場套利，你需要在所有倉位上同時有流動性。最小的那個決定了你的上限。

這也是為什麼，在現有量化平台中，展現出訂單價格對成交價格對影響至關重要。

第五章：完整系統——實際部署了什麼

理論是乾淨的。生產環境是混亂的。

這是一個真正能跑的套利系統長什麼樣 [2]。

數據管道

實時數據： WebSocket 連接 Polymarket 上的 API [9]，接收訂單簿更新（價格/數量變化）、成交推送、市場創建/結算事件。

歷史數據： 通過 Alchemy Polygon 节點 API 查詢合約事件——OrderFilled（交易執行）、PositionSplit（新代幣鑄造）、PositionsMerge（代幣銷毀）。

研究團隊分析了 8600 萬筆交易 [2]。這個量級需要基礎設施，不是腳本能搞定的。

目前也有計劃開源高速交易 API，如果有計劃使用類似的交易模型，希望能夠第一時間體驗 API，也可以隨時 DM 我。

依賴關係檢測層

對於 305 個美國大選市場，有 46,360 對可能的組合需要檢查。手動分析不可能。

研究團隊用了一個聰明的方法：用 DeepSeek-R1-Distill-Qwen-32B 大語言模型來做初篩。

輸入：兩個市場的條件描述。輸出：合法結果組合的 JSON。

然後做三層驗證：每個市場是否恰好有一倔件為真？合法組合數是否少於 n × m（存在依賴）？依賴子集是否滿足套利條件？

結果：40,057 對獨立（無套利）→ 1,576 對有依賴（潛在套利）→ 374 對滿足嚴格條件 → 13 對經人工驗證可利用 [2]。

LLM 在複雜多條件市場上的準確率是 81.45%。足夠用來做初篩，但執行前需要人工驗證。

三層優化引擎

· 第一層：簡單線性約束（LCMM）。快速檢查基本規則——「概率之和等於 1」、「如果 A 蘊含 B，那 P(A) 不能超過 P(B)」。毫秒級完成，去除明顯的定價錯誤。

· 第二層：整數規劃投影（Frank-Wolfe + Gurobi）。這是核心。參數：Alpha = 0.9（提取至少 90% 的可用套利），初始 ε = 0.1（10% 收縮），收斂閾值 = 1e-6，時間限制 = 30 分鐘。典型迭代次數：50-150 次。每次迭代求解時間：1-30 秒。

· 第三層：執行驗證。在提交訂單之前，模擬當前訂單簿上的成交。檢查：流動性是否充足？預期滑點是多少？扣除滑點後的保證利潤是多少？利潤是否超過最低閾值（$0.05）？只有全部通過才執行。

倉位管理：改良版 Kelly 公式

標準的 Kelly 公式 [11] 告訴你該把多少比例的資金投入一筆交易。但在套利場景下，需要加入執行風險的調整：

f = (b×p - q) / b × √p

其中 b 是套利利潤百分比，p 是完全執行的機率（根據訂單簿深度估算），q = 1 - p。

上限：訂單簿深度的 50%。超過這個比例，你的訂單本身就會大幅移動市場。

最終結果

2024 年 4 月到 2025 年 4 月，總提取利潤：

單一條件套利： 低買兩邊 $5,899,287 + 高賣兩邊 $4,682,075 = $10,581,362

市場再平衡： 低買所有 YES $11,092,286 + 高賣所有 YES $612,189 + 買所有 NO $17,307,114 = $29,011,589

跨市場組合套利： $95,634

總計：$39,688,585

前 10 名套利者拿走了 $8,127,849（總額的 20.5%）。排名第一的套利者：$2,009,632，來自 4,049 筆交易，平均每筆 $496[2]。

不是彩票。不是運氣。是數學精確度的系統化執行。

最後的現實

當交易者還在讀「預測市場 10 個技巧」的時候，量化系統在做什麼？

它們在用整數規劃檢測 17,218 個條件之間的依賴關係。在用 Bregman 投影計算最優套利交易。在運行 Frank-Wolfe 算法處理梯度爆炸。在用 VWAP 估算滑點並行執行訂單。在系統性地提取 4000 萬美元的保證利潤。

差距不是運氣。是數學基礎設施。

論文是公開的 [1]。算法是已知的。利潤是真實的。

問題是：在下一個 4000 萬被提取之前，你能建立出來嗎？

概念速查

• 边际多面体（Marginal Polytope）→ 所有「合法价格」組成的空間。價格必須在這個空間內才是無套利的。可以理解為「價格的合法區域」

• 整數規劃（Integer Programming）→ 用線性約束描述合法結果，避免暴力枚舉。把 2^63 次檢查壓縮成幾條約束 [3]

• Bregman 散度 / KL 散度 → 衡量兩個概率分佈之間「距離」的方法，比歐幾里得距離更適合價格/概率場景。極端價格附近的變動權重更高 [5][6]

• LMSR（對數市場評分規則）→ Polymarket 做市商使用的定價機制，價格代表隱含概率 [4]

• Frank-Wolfe 算法 → 一種迭代優化算法，每輪只加一個新頂點，避免了枚舉指數級多的合法結果 [7]

• Gurobi → 業界領先的整數規劃求解器，Frank-Wolfe 每輪迭代的「向導」[8]

• CLOB（中央限價訂單簿）→ Polymarket 的交易撮合機制，訂單順序執行，不能保證原子性 [9]

• VWAP（成交量加權平均價格）→ 你實際付的平均價格，考慮了訂單簿深度。比「最優報價」更真實 [10]

• Kelly 公式 → 告訴你該把多少比例的資金投入一筆交易，平衡收益和風險 [11]

• 非原子執行 → 多筆訂單不能保證同時成交的問題。一條腿成交另一條沒成交 = 暴露風險

• DeepSeek → 用來做市場依賴關係初篩的大語言模型，準確率 81.45%

參考資料

[1] 原文：https://x.com/RohOnChain/status/2017314080395296995

[2] 研究論文「Unravelling the Probabilistic Forest: Arbitrage in Prediction Markets」：https://arxiv.org/abs/2508.03474

[3] 理論基礎論文「Arbitrage-Free Combinatorial Market Making via Integer Programming」：https://arxiv.org/abs/1606.02825

[4] LMSR 對數市場評分規則解釋：https://www.cultivatelabs.com/crowdsourced-forecasting-guide/how-does-logarithmic-market-scoring-rule-lmsr-work

[5] Bregman 散度入門：https://mark.reid.name/blog/meet-the-bregman-divergences.html

[6] KL 散度 - Wikipedia：https://en.wikipedia.org/wiki/Kullback%E2%80%93Leibler_divergence

[7] Frank-Wolfe 算法 - Wikipedia：https://en.wikipedia.org/wiki/Frank%E2%80%93Wolfe_algorithm

[8] Gurobi 優化器：https://www.gurobi.com/

[9] Polymarket CLOB API 文檔：https://docs.polymarket.com/

[10] VWAP 解釋 - Investopedia：https://www.investopedia.com/terms/v/vwap.asp

[11] Kelly 公式 - Investopedia：https://www.investopedia.com/articles/trading/04/091504.asp

[12] Decrypt 報道「The $40 Million Free Money Glitch」：https://decrypt.co/339958/40-million-free-money-glitch-crypto-prediction-markets

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